随机赛程的最佳策略

引言
( r& H( n8 F5 c
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
0 g- f9 u& w4 T5 L
! B9 _8 m& |$ A9 E
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
  b6 y1 R' r# e: Q
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

& ~$ v! j9 r. e: D本文
% V% t- j/ J5 o& @
( c- Z7 Q9 n0 I" a5 t3 `
问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

7 i8 r. C$ ]9 c. l/ r6 i为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
, P/ S: S+ t6 F4 L+ h, c

方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
+ Y1 R. f- [4 v* d* t方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
4 }' g' S( w* b5 Q5 _: f方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
9 [. N0 N% R. }* e9 R6 ]( f你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

4 }4 @4 g/ z1 n+ D首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
0 X, }8 l8 G4 u  x1 ?+-++,-+++,
" d7 j1 r; g9 j; Q+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
5 m- p; U# }3 F+ C5 R2 C                                                                                                。
! r+ s) Q% ~' t! R在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

, p; `) b! f/ H; Q2 `8 R


1 |# M# s1 I7 E
, r, v/ Y: O, s0 A( R! E5 g




现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
/ f3 N* c% o( k8 u  K7 A
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
$ Q# b! k7 A! ^: H-+-+++,-+-++-+,
                                 
# m0 q3 G, J: H7 o9 y& k, m, ,
0 I. b8 u2 y0 y! _7 l                                                                                。

- y& J- ?" G1 C( E仿上之计算，可得此时甲赢的机率为




7 ]2 S8 b1 t+ J; Y& k- Q2 v

: H" @- Y! B/ j& x! O

4 @  E1 _# v7 n最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
9 F3 @8 h8 X! M, |8 S) h
# P3 R/ b) Y' t7 W6 C1 g7 b# U现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

" ~( m% Z4 }8 o( u0 a6 R这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

7 C$ o: u- |" U现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
3 J5 |0 N0 ?, y

情况一：  
2 i/ Z4 y. A7 `* r3 B  ?, a此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

, D' i$ W% j# f3 t  ^, r9 u情况二：  
2 n2 D" F% h0 p/ C此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
8 |4 A; f1 d: D
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
6 {+ L" P' ^  T1 a. |5 W
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
- h1 [5 x: V* [+ s
0 Z2 b- s% h  ], M4 g
情况一：  
- A0 g$ s6 \) `: p! Z假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
. x* z0 z: Z, H% p. ^
4 U+ ~- _# ?3 w$ e' Z


3 V% T  D1 k. P/ {. Y# x/ W

2 n+ @, T) M0 e这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
4 [+ l8 a9 p' z# j5 ^$ p3 l% d3 i' y
情况二：  
: ^+ b2 k) }! R$ e  k& t令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


: m& b) H; h0 `* P9 `
6 V; y4 W  Q' c4 v6 u
4 \6 o" j5 p  ?; v; L8 b

: H/ N  r4 F# _8 f6 X3 B8 u这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

9 f" L6 c0 H8 t1 ^
; a% f, U# K; C; d, O


  m3 ~1 {+ i2 K2 U3 l8 ~  U3 R! c
两边相加，并利用 、，得
0 D: g1 y) H1 Y9 r$ X





若取前 c 项相加，则得

" \* i% |3 j( R) L) r6 ^2 o' i




9 v+ I3 R6 w8 ~+ v2 i) ~* A情况三：  
仿二之解法，可求得
) R' `$ i3 j5 q* `5 \& L* P# L5 p
  y& V8 D) Z/ l/ l6 H, `  ?
* |5 u8 \( a$ F
/ j# X; c. s9 s1 {  q
8 r; n* b7 A( x
& j( Y1 z! @9 t

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
# P$ M! v( l/ ]
6 C5 j! M9 o. E6 N: D0 |首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

6 Q3 _3 z9 ^1 @6 u0 R
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

) a' @  f5 v+ Q: Y- T2 S3 Z7 ]现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

4 T5 e7 p6 V/ \2 i8 D* y  O% A! t0 S' j至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

- [9 g( \. h/ Y3 W- r& D$ R


/ T( D% t& i; m7 w  w+ p
* e) e0 G' W8 u( |: Z( O& Z


" N9 o& B4 j5 `5 ?6 h* w. I( z其中  为所下注之金额。利用
0 I4 ^4 |0 D$ [! n: m. A


+ F/ S! O  w( A8 |



' M* _+ G% l5 ?- |5 L$ v
% R' N: C+ w* `. J2 z可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但




5 f% Z2 X4 _4 D% j- \4 a
  A7 p' |# p0 R( G. `, {) `
3 u1 j1 E; }1 r

: w# o2 V$ _1 o: t4 @+ C因此可得在情况二， 时，




( F1 M# m0 w0 v  F: H; q



而在情况三， 时，

8 s. g: G5 i5 w; Q/ C+ c
1 c# D) e1 t# ], ]7 K4 d' o. k
8 m- ]7 ?* k8 A* b! I! V8 f

+ P4 n5 J( L5 ^6 \. ]

$ X9 l, f5 c/ P+ n' e6 @1 y6 D0 }
# E; D' }1 `  K* e  O  l但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录

1 H: W( a# j8 Q, O& M
9 E. t! G6 T+ p- E/ N在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
% ?: w# ?+ p/ B1 _. F( @$ |  b





+ C6 b/ E9 K9 j7 J% B+ S
/ q3 @+ K& J6 S3 J" w& a
% O) T! _  u  a; Y1 L" J$ z另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！