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引言 . L1 c5 g* v9 Y# |

# ^/ ^, }6 z0 z7 }! d+ B* X在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
" ?9 y9 o: w# t
; a0 ^0 ]% M% m1 L7 w问题
" d0 L6 y) Z  _3 {: z0 h6 Q; H: H/ g) J- ^

8 v8 h2 E6 R+ ^- c- ]* j; l有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? ! X2 \8 M' O2 [: x6 x, f
3 t8 m( q9 p; H) T/ d( a& J
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
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本文 * N$ P8 U8 y" g: j' J6 @: z
! L3 u2 M, a" z2 `5 S
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问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
, r: [/ B) l1 F! u0 c* I* J. p7 C8 S2 a- k3 N' N( J0 h
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 / B+ |' @0 U* ~6 d

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- @" W, i& Z1 o; ~4 `方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) # }9 [" _6 }3 A6 a- s. ^3 b
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)   o' U- G3 U9 H3 C* Q
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
- b  G/ d) i$ O' d( H- L你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
/ t( d. k) }; y, [* o: L! B' H7 D" }( ~3 d
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
+ B  l8 m! O. m" [! O# w9 [+ U& n1 @# j# L$ O* C' P0 S/ ~
++, / d0 j' r0 |6 F1 h2 z6 S
+-++,-+++,
- X! `, \5 }* W, b! I6 O+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
' Z' S! T, P. [' d" A9 S' s1 ~                                                                                                。
7 M2 _# M+ Y' b( W, e, f在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
' U" |# T7 Y1 e% q% O1 ^0 Q/ {7 P7 I7 @3 g+ y
" K0 \0 c5 z" A0 \# j

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9 b, Y. F3 }7 l
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 ) t3 u# N7 f+ S; G0 T. C

" r; g2 a$ O7 y6 N: W++,+-+,
. w) @) P+ T% ]1 ]$ r' x2 W) n-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
5 Z  m9 T& T4 P+ s# l+ h3 f-+-+++,-+-++-+,
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  z/ b( h: r; L  x1 q. ?                                                                                。
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仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 1 `# J3 T) \: b  g% f6 _: x: V4 o
0 g* o( q. S4 t" A) F

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# C- a7 @8 c  m# ^) I

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- J( r2 Z2 J7 H2 B5 }9 Z! j! k最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 2 S3 e2 C$ m5 u& D

, P- Y) K% f- v+ r! X9 q0 g0 ~9 Q现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
$ I* H1 {$ \- x9 F) Y
( g% f4 A+ a, m% o" q( Z1 A7 e这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? % i% E, X5 U: i2 y. n

. y) I) R1 F' Z& f现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
/ t4 c1 ?0 a# ^, r8 \$ S
/ I0 ?$ e6 v6 Q6 y0 v
1 G2 i" v, C# [( z3 ?! B情况一:  
4 P2 o- t* j3 ]) `+ z此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
% `8 u( K, M9 T4 H) I, b; g$ v! u) j" R, k  j. M
情况二:  8 s- c8 A* ]( l  y+ b
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。 ' _. L8 d6 E' i7 N2 u

( b  p% k( N2 i7 i0 }情况三:
8 p/ w& j: A3 H4 S) w3 [4 C0 u! W- L此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
1 K6 Z; ^/ @2 k' h
' W0 ]; |2 K, d/ q现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 # J7 x+ h" g. ~; E' B  ]: a4 A  Y

0 b# D+ |, K7 h7 p! Y由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
' ]- ^2 q. ?  A/ B6 v, R
& `# j* V7 W2 T  a( g2 Q$ B4 o8 \& H如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 ( M+ u) |' }9 J5 E+ P  ~

! G9 R0 H* E+ G2 ~' J. h1 l, h1 p) r  u+ M' X2 ~
情况一:  
$ _* c7 t& P2 P假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 " x( Y, G& j2 g% \5 u$ z5 y0 E
4 W9 B) w3 l: }, H& T) V" R
1 I8 N/ O5 T; L% h' L# w

" a; B, a' o& H+ L8 H: q7 ^7 {7 g- F& k1 r6 G/ j
2 `- z+ N# ?. t! Q

4 Q+ q. m$ h/ ~5 L这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
; u7 b: A! b9 \! U3 D
# c, c+ ?0 r* g6 O. @情况二:  5 z! ?9 Q" p- [, A; \: L  z
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
4 O) Y1 I8 c, ]/ l0 i* f' f$ }6 R( ]/ Q# y& M) ~7 H

: u6 I) I: A9 h% R. j
% R) D/ ~! _9 ]/ \8 z4 K/ W1 ~' Z' M8 J: O6 o

5 [. Y/ m8 T# P& v! `& {$ h
. Q$ K$ ?# B" b3 \6 x% [这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。
! a% N$ L: G3 E9 u& P* [/ [利用p+q=1,上组方程式可改写为 , f, P. p& V3 Z1 g6 @
" z) P* x2 s6 W

9 u6 E3 g# H( E$ N
$ u  I, c" {: L
7 u5 g5 a+ Z" I+ y4 F% n2 T/ ]! C1 j, q# X& ?3 V: {
$ {+ E1 T- A: g: S
两边相加,并利用 、,得
% Z( S% G+ `+ O! M2 J4 v7 L! G5 S; {, i3 x% J5 ?
; W) i5 x+ I+ H, `& m" x4 h2 R# T8 ~

. @- O4 j; Q/ ^' r/ r2 `9 ^0 C! _7 ]  j
2 m2 A& J+ R( N& B1 v
* j6 j* G; X. c  |
若取前 c 项相加,则得 ( Y+ {# G5 y: g  F: x0 ]

% p/ L7 v+ E7 W; r5 Y( _* b- D9 F
: b' r2 C# B7 f- B! g  W6 M' A1 `
3 u" l. `; c9 }  J
0 T5 i' S/ c! R  F7 a
* ^3 |0 ?# q9 G) d
4 s/ q4 y0 [8 f, P情况三:  ( q1 p5 o2 [. H$ M
仿二之解法,可求得
) W7 K$ {  l0 R% D' V4 X* ^1 [% l- f1 N: x9 t
! U$ N! |4 c$ o2 s+ ?
0 D% h3 ?( v, K# U
" B6 H- K) J; M$ }7 y
" Z. d% ^9 m5 h; r2 q7 i2 ^; I

7 ]) v' a5 v) |2 V: ]! z) n
' D; z/ F7 E. Q- M1 P0 x# k  L3 s保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 + t/ R# p0 [* b1 R9 z0 G
1 k0 e2 x: a7 K, m
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
6 {$ o! e/ I& A6 M# n0 y- e  V3 X1 |+ q6 f. C
  K! g2 X+ ]9 H* p- i
定理: 7 A# K( X$ ]  n' s9 i
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 - V6 n. y, M; }9 K, e
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
& e4 i2 d5 Y; T  t
% ?7 Y2 r9 y& o现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 % Y7 A' W4 j, r' i. W2 ~& r. M( c# b

1 A/ k) h) N+ ^2 P; q0 g, a0 t4 M首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
" N! i: }! M5 T0 J, v7 c# `7 a% e( y5 @0 i8 C: l3 l
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 5 O2 I% i3 [  ^0 N2 n; Z" v
& s( i% z/ L/ }9 e

8 D- S0 x1 j  \- j$ J: ^9 [; m4 a/ R# s* g, g; }4 F

7 C2 c4 N; M! G3 r# K; O6 K# @0 Z) v) ^# ]% `

% h1 l- X" N0 h* [5 T( J& t. _) j% E6 _+ p% w7 f- K' D9 o: O

4 u3 D7 q, c5 H5 o0 u其中  为所下注之金额。利用 9 w: n7 ^( j0 }9 Z' I6 I4 `0 p

! i9 j8 p; D. ^6 L% b6 a. I: d
' C& A- l$ `8 Q: U9 _& ]. G. h4 V- a) D" `

. X/ Z1 V# z: {/ K/ h: O& P! E# t/ k; S2 I. ?) R1 S1 s
7 @7 q7 h, f' O6 n: ~3 {0 q
8 d5 T8 v) ?2 Q8 z3 W5 _  L# N

$ j4 w- H* S- N5 {& w# T- n/ s可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 0 H) [7 ~3 q6 U8 a: T9 v& i# x

. W6 M4 ]9 W. O$ e4 v- b. w8 R* C+ c8 }) @7 |' O" t
% R7 _1 B+ ?8 i3 [# e9 u& P* K
. J6 {. u. ?! l& O5 Z, q
6 j6 L8 t, l* B
6 M/ ]) j: _' b, x+ m% ~& l

! V4 i  x# E5 U4 {' s: J6 K9 h$ {+ M$ V
因此可得在情况二, 时,
& A* R% Y* y# T* f' `7 v( i. T; c  o5 ]
  t* ~& O$ E2 e  s! v8 s2 \0 X

) T/ j6 h7 o0 a: g5 y; X% Z, t9 x  A# \% j3 e9 ]3 X* b0 x

9 a- {  ~  J' ?0 U
  k# s$ X# ~4 |3 y" a
* U; c9 c4 x# m" T  v0 d9 B: k4 j9 @& I
而在情况三, 时,
, ^: e2 M- O  d0 p2 a0 D' v2 s* V; [) z, H0 U3 q

  z9 y' P: j+ T+ n1 [$ \
5 b7 a( N! f3 e4 }
* g( l) ]. \' u  [- J4 F
& b# {: l. q* Y7 F1 N2 L, H
6 L$ g$ ?! {, w  W# L) w/ y8 k; ?5 J

2 u2 \9 G% s* H但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
5 e5 S7 T4 r% S6 h/ m% H) z0 C4 [$ f; {8 h1 u4 m$ m, c2 ]
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 8 V4 d- H$ U) S
8 N! @1 y+ W0 k" O9 r
附录
% R( J% W; U/ r, P' d
, y/ O6 Q- T/ q( k0 M
1 o: E  o; ]1 c3 _  N在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 / _+ L2 r5 W  W- ^1 \8 ]

" Q5 K  ?7 _& r  D+ F
# C) P4 A" w9 b" k: T3 z. n& b0 _! ?% w
1 P- a/ b6 K% m1 n3 J

, _: A6 D- N- t# ~% D
2 G. E5 f. e7 U7 I2 H
2 e- P  e: \& }6 `/ z8 W; n8 P, L- H/ @* ^' R" [6 G4 P
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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