随机赛程的最佳策略

引言

# ^/ ^, }6 z0 z7 }! d+ B* X在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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; a0 ^0 ]% M% m1 L7 w问题
" d0 L6 y) Z  _

8 v8 h2 E6 R+ ^- c- ]* j; l有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文


问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

. E( x2 r- F8 _* i$ m
- @" W, i& Z1 o; ~4 `方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
- b  G/ d) i$ O' d( H- L你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
+ B  l8 m! O. m" [! O# w9 [
++,
+-++,-+++,
- X! `, \5 }* W, b! I6 O+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
' Z' S! T, P. [' d" A9 S' s1 ~                                                                                                。
7 M2 _# M+ Y' b( W, e, f在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
' U" |# T7 Y1 e% q


8 t4 W# Y4 a- o- v! C2 i

2 F, [. s: @+ U% a* s0 R

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现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

" r; g2 a$ O7 y6 N: W++,+-+,
. w) @) P+ T% ]1 ]$ r' x2 W) n-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
5 Z  m9 T& T4 P+ s# l+ h3 f-+-+++,-+-++-+,
* `- x2 ?; R& V                                 
/ n( Z3 T' s9 L  x( @, ,
  z/ b( h: r; L  x1 q. ?                                                                                。
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仿上之计算，可得此时甲赢的机率为


9 F7 O1 [6 H9 I1 X0 `* V5 B" R


  N) t/ I0 b( d" I$ k


- J( r2 Z2 J7 H2 B5 }9 Z! j! k最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

, P- Y) K% f- v+ r! X9 q0 g0 ~9 Q现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
$ I* H1 {$ \- x9 F) Y
( g% f4 A+ a, m% o" q( Z1 A7 e这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

. y) I) R1 F' Z& f现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
/ t4 c1 ?0 a# ^, r8 \$ S
/ I0 ?$ e6 v6 Q6 y0 v
1 G2 i" v, C# [( z3 ?! B情况一：  
4 P2 o- t* j3 ]) `+ z此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
% `8 u( K, M9 T4 H) I, b
情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

( b  p% k( N2 i7 i0 }情况三：
8 p/ w& j: A3 H4 S) w3 [4 C0 u! W- L此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
1 K6 Z; ^/ @2 k' h
' W0 ]; |2 K, d/ q现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

0 b# D+ |, K7 h7 p! Y由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
' ]- ^2 q. ?  A/ B6 v, R
& `# j* V7 W2 T  a( g2 Q$ B4 o8 \& H如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

! G9 R0 H* E+ G2 ~' J
情况一：  
$ _* c7 t& P2 P假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此



" a; B, a' o& H+ L


4 Q+ q. m$ h/ ~5 L这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
; u7 b: A! b9 \! U3 D
# c, c+ ?0 r* g6 O. @情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
4 O) Y1 I8 c, ]/ l

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% R) D/ ~! _9 ]/ \8 z

5 [. Y/ m8 T# P& v! `& {$ h
. Q$ K$ ?# B" b3 \6 x% [这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
! a% N$ L: G3 E9 u& P* [/ [利用p+q=1，上组方程式可改写为


9 u6 E3 g# H( E$ N
$ u  I, c" {: L
7 u5 g5 a+ Z" I+ y4 F% n2 T

两边相加，并利用 、，得
% Z( S% G+ `+ O! M2 J4 v


. @- O4 j; Q/ ^' r


若取前 c 项相加，则得

% p/ L7 v+ E7 W; r5 Y( _* b- D9 F
: b' r2 C# B7 f- B! g  W6 M' A1 `
3 u" l. `; c9 }  J
0 T5 i' S/ c! R  F7 a
* ^3 |0 ?# q9 G) d
4 s/ q4 y0 [8 f, P情况三：  
仿二之解法，可求得
) W7 K$ {  l0 R% D' V4 X* ^





7 ]) v' a5 v) |2 V: ]! z) n
' D; z/ F7 E. Q- M1 P0 x# k  L3 s保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
6 {$ o! e/ I& A6 M# n0 y- e

定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
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% ?7 Y2 r9 y& o现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

1 A/ k) h) N+ ^2 P; q0 g, a0 t4 M首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
" N! i: }! M5 T0 J, v7 c# `
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


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7 C2 c4 N; M! G3 r# K; O

% h1 l- X" N0 h* [5 T( J& t. _) j

4 u3 D7 q, c5 H5 o0 u其中  为所下注之金额。利用

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' C& A- l$ `8 Q: U

. X/ Z1 V# z: {/ K/ h: O



$ j4 w- H* S- N5 {& w# T- n/ s可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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因此可得在情况二， 时，
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  k# s$ X# ~4 |3 y" a
* U; c9 c4 x# m" T
而在情况三， 时，
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5 b7 a( N! f3 e4 }
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& b# {: l. q* Y7 F1 N2 L, H
6 L$ g$ ?! {, w  W# L

2 u2 \9 G% s* H但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
5 e5 S7 T4 r% S6 h/ m% H) z
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
% R( J% W; U/ r, P' d
, y/ O6 Q- T/ q( k0 M
1 o: E  o; ]1 c3 _  N在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

" Q5 K  ?7 _& r  D+ F
# C) P4 A" w9 b" k


, _: A6 D- N- t# ~% D
2 G. E5 f. e7 U7 I2 H
2 e- P  e: \& }6 `/ z
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！