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1#
引言
( r& H( n8 F5 c6 t5 ~: \; _8 s; E" r, b+ C
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 9 x$ h  K$ R+ n
. Z* k" R- n# l8 D" J- e2 u
问题
0 g- f9 u& w4 T5 L
! B9 _8 m& |$ A9 E/ n0 Q( s0 m  H9 W1 ]
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
  b6 y1 R' r# e: Q) F+ F4 `% H$ ~- E+ y
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 * ~% i2 S/ |! e2 b0 U& H

& ~$ v! j9 r. e: D本文
% V% t- j/ J5 o& @
( c- Z7 Q9 n0 I" a5 t3 `8 V- _. T* w; b: n- c7 v& T, l( P
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 4 t9 j. J% `/ m- b  J

7 i8 r. C$ ]9 c. l/ r6 i为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
, P/ S: S+ t6 F4 L+ h, c- o/ ~( i' b1 x7 b1 ^
- ^2 l; Z7 _# H9 N
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
+ Y1 R. f- [4 v* d* t方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
4 }' g' S( w* b5 Q5 _: f方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
9 [. N0 N% R. }* e9 R6 ]( f你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 % s- F3 q0 S/ V" w; f

4 }4 @4 g/ z1 n+ D首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 0 ?& K2 U: ]; u' |1 P
1 C  }; J. Z" Y5 {! p
++,
0 X, }8 l8 G4 u  x1 ?+-++,-+++,
" d7 j1 r; g9 j; Q+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
5 m- p; U# }3 F+ C5 R2 C                                                                                                。
! r+ s) Q% ~' t! R在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为 7 o/ I$ P2 J1 \: f* W

, p; `) b! f/ H; Q2 `8 R8 {" y. M# `) g% }; n) G; m
, T1 c' ~8 w) S. |$ u

1 |# M# s1 I7 E
, r, v/ Y: O, s0 A( R! E5 g( p) v; l8 ]8 ]# _, _0 f) a; q7 c
7 m# y; j9 @2 y$ z7 U' l
5 b$ G) A3 z: O* K, X3 L
, k. ~; B4 b& d: [& |
# ?! X/ z7 Q" ]7 Y$ {
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
/ f3 N* c% o( k8 u  K7 A7 M% k" `. s; }4 `4 U5 {/ e
++,+-+, ( f0 a. {. B) g2 U' \$ _
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
$ Q# b! k7 A! ^: H-+-+++,-+-++-+, / `4 J: t& X) D. F0 i
                                 
# m0 q3 G, J: H7 o9 y& k, m, ,
0 I. b8 u2 y0 y! _7 l                                                                                。 ! ]5 \$ A( ?" ~

- y& J- ?" G1 C( E仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 8 x" T. U( G6 i8 E* Z) J5 T
$ {) I/ r/ z$ W) K
$ w  U* I5 `& m# O
% v) C* ^9 H0 H4 m( A+ m. C7 r

7 ]2 S8 b1 t+ J; Y& k- Q2 v. W& e/ y0 r& K% i

: H" @- Y! B/ j& x! O+ o4 d$ V) k8 _: V6 C- X

4 @  E1 _# v7 n最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
9 F3 @8 h8 X! M, |8 S) h
# P3 R/ b) Y' t7 W6 C1 g7 b# U现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 6 w& y  ?& `" S$ P

" ~( m% Z4 }8 o( u0 a6 R这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? 7 r! i7 T- V; h" a$ B# c4 i4 u

7 C$ o: u- |" U现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
3 J5 |0 N0 ?, y0 C+ H$ h/ W! n: f
* q" I: |0 c: ]6 C
情况一:  
2 i/ Z4 y. A7 `* r3 B  ?, a此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 % X3 ]6 ^: w* ]2 Z! I

, D' i$ W% j# f3 t  ^, r9 u情况二:  
2 n2 D" F% h0 p/ C此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
8 |4 A; f1 d: D, G+ A% p' b, D3 c$ ^. l
情况三: 1 `  h/ q4 E- u3 m3 H, y4 l' u. D
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。   o( f1 l& l4 H1 }' n
5 q/ O- s. h  v5 G  q8 {) Z
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 ( g+ _$ N6 p% K! V+ r
) l2 w/ q9 A: s  }# P* m( y8 H
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
6 {+ L" P' ^  T1 a. |5 W0 g3 Z% H9 L/ q& u- x
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
- h1 [5 x: V* [+ s
0 Z2 b- s% h  ], M4 g* E: N2 r8 h3 m( F1 e7 |8 B/ D
情况一:  
- A0 g$ s6 \) `: p! Z假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
. x* z0 z: Z, H% p. ^
4 U+ ~- _# ?3 w$ e' Z# w9 _8 T4 U4 T7 @5 u
: J, W" Q0 _. {8 h. d) e. X

3 V% T  D1 k. P/ {. Y# x/ W8 x( }0 v8 ~: T' b! }

2 n+ @, T) M0 e这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
4 [+ l8 a9 p' z# j5 ^$ p3 l% d3 i' y* h1 x" x5 p9 v' D0 M
情况二:  
: ^+ b2 k) }! R$ e  k& t令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 % B0 }# G& r0 p: a0 A" X
. i5 L2 `, T* ~  I4 C, e! t

: m& b) H; h0 `* P9 `
6 V; y4 W  Q' c4 v6 u
4 \6 o" j5 p  ?; v; L8 b" i  P9 s, ?# z) N2 a

: H/ N  r4 F# _8 f6 X3 B8 u这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 0 G' b/ ~1 l6 _3 |
利用p+q=1,上组方程式可改写为 / }% [% k, e( h7 b$ ]/ D" {

9 f" L6 c0 H8 t1 ^
; a% f, U# K; C; d, O2 R4 ~4 N9 l$ F$ O, C
+ m" M) g4 v; F8 m1 ^4 J$ v7 s

  m3 ~1 {+ i2 K2 U3 l8 ~  U3 R! c; f1 W- J/ k) R( I
两边相加,并利用 、,得
0 D: g1 y) H1 Y9 r$ X8 w. U& g6 S3 k# _) e( b
: @  W0 P' A6 X- M# D. q, ~
) {2 P% X1 u# E8 P# }( M$ ?
& `. V! p' i; K$ o+ M% S, z) @( }2 v
1 K( U; E1 P% X0 A  V8 x
7 y2 u) w, e2 L! z) A8 y  Q( z
若取前 c 项相加,则得 + o! E! e! H+ m

" \* i% |3 j( R) L) r6 ^2 o' i% Q5 F# X# ]& g. ~5 m7 c+ M) o
! g3 g. K& D, @3 ?1 m3 G
: q6 T# s8 V* G6 B: l: X6 c* N
/ B8 W$ o, ~  q

9 v+ I3 R6 w8 ~+ v2 i) ~* A情况三:  ! f! p6 `, s9 w3 f, s* ~
仿二之解法,可求得
) R' `$ i3 j5 q* `5 \& L* P# L5 p
  y& V8 D) Z/ l/ l6 H, `  ?
* |5 u8 \( a$ F
/ j# X; c. s9 s1 {  q
8 r; n* b7 A( x
& j( Y1 z! @9 t! w; L: w. g- R  s& F9 Z" {; c9 k- V: J0 O
  k" |, W2 R, s/ F! Z4 L* R
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
# P$ M! v( l/ ]
6 C5 j! M9 o. E6 N: D0 |首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 6 x- K2 q0 C9 m$ n7 x2 I) V5 ~

6 Q3 _3 z9 ^1 @6 u0 R: z' _' w2 o9 |+ c
定理: $ a) B" u$ g% H2 q% ^. g& {
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。   S& Y2 h/ a6 l9 G% |
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 ' \& p& L& k$ a$ M7 w$ U  ^' l

) a' @  f5 v+ Q: Y- T2 S3 Z7 ]现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 6 T# ]  p; r; }* U: A9 @. m# x
; I. T# b6 D, J5 M* @( z4 t& k3 Y& c+ ^
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 ) g0 n8 V) p8 P

4 T5 e7 p6 V/ \2 i8 D* y  O% A! t0 S' j至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 0 A" ]+ H! Y1 X4 g

- [9 g( \. h/ Y3 W- r& D$ R$ M; P# k' F% e0 c3 O" v* q5 r6 j, ]$ t
- @. f0 s8 H! Y  p6 H# W- j! E3 o

/ T( D% t& i; m7 w  w+ p
* e) e0 G' W8 u( |: Z( O& Z: X/ _  g: F: M6 M, j* G: T
* m2 \$ O6 A& n) V

" N9 o& B4 j5 `5 ?6 h* w. I( z其中  为所下注之金额。利用
0 I4 ^4 |0 D$ [! n: m. A5 U( E( W5 |$ B6 I9 L3 \4 W
9 i. Y" s' U: z. w

+ F/ S! O  w( A8 |( C+ E$ Q% g. i8 ^$ f
: T# \4 t% i" f* l; u# \+ r4 P8 K
8 [4 e. p$ ?  }0 H) I) @

' M* _+ G% l5 ?- |5 L$ v
% R' N: C+ w* `. J2 z可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 + r- j1 }# @% S
4 J( y4 f; T& z5 V) r) M  U- |6 J
, L& a5 r1 N. f# V$ ~" c7 q
- N- `3 g# b) W% h* H. E! f

5 f% Z2 X4 _4 D% j- \4 a
  A7 p' |# p0 R( G. `, {) `
3 u1 j1 E; }1 r3 n+ B! f% m" Q4 N

: w# o2 V$ _1 o: t4 @+ C因此可得在情况二, 时, " k; n# f: @7 O+ ]
) F1 N+ I. o; z! E1 L! h- y
+ o( R, S  i; s, V4 \% y- ?
$ ^9 M! y/ F7 o) ~

( F1 M# m0 w0 v  F: H; q/ I; T0 ^+ o' l, M; g2 P
& ~! D" C# y, Z% b9 T! Z
& L% p+ ^' ~! D& j6 Y% _
4 g+ j5 A* d3 k& ~; W+ X
而在情况三, 时, 5 \  w4 E. r7 ?3 \

8 s. g: G5 i5 w; Q/ C+ c
1 c# D) e1 t# ], ]7 K4 d' o. k
8 m- ]7 ?* k8 A* b! I! V8 f1 R/ D& n* {! N4 B/ g

+ P4 n5 J( L5 ^6 \. ]3 n8 B# [( ^  D. V! [

$ X9 l, f5 c/ P+ n' e6 @1 y6 D0 }
# E; D' }1 `  K* e  O  l但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 ' n- Q! p8 W# Y" ]. B
4 A0 ?4 a& Q5 j9 Z
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 ( N3 i2 y. x: Q, N5 m9 ]
* O- M* D: @( [4 o
附录 ' G6 {  l8 _# c8 H

1 H: W( a# j8 Q, O& M
9 E. t! G6 T+ p- E/ N在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
% ?: w# ?+ p/ B1 _. F( @$ |  b4 G  F- `3 u6 j6 n/ a% D
9 i. `. {4 _+ G$ a# P% |$ [
6 u* y* {  L$ u) \. l  A! f# F
* V0 `/ t, S' M( K) p8 H; b) t
% w3 R0 j/ l/ P

+ C6 b/ E9 K9 j7 J% B+ S
/ q3 @+ K& J6 S3 J" w& a
% O) T! _  u  a; Y1 L" J$ z另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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