随机赛程的最佳策略

引言
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/ S9 C4 N' j9 I! [$ _+ F" s' ?" A1 k在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题


, E; U8 l' n, s* X7 Q2 s有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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4 E, X% s4 s8 u# T本文
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' Z; x6 E4 k6 i
- L, Z- M6 M! m. }问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
- C( f) b) x+ M+ w; m6 E

方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
; M2 }! F" I: g方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
/ z, `) [  e0 k" k: X方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
  f' G. O1 I* ~3 t你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

: g6 f# I) c% R6 @3 y$ ^++,
+ T/ G" ]) ]1 Z/ h+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
* R' g* N5 c# q* X在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为





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  T' E% Q" z9 a

8 i' ?- i$ u( Z! X

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
+ P, n& j/ w( _; I3 t5 p2 P
% q) f+ E8 @) l, t# {++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
( M) @" t5 K  @3 ]-+-+++,-+-++-+,
( e- D( ^- s# y7 ~                                 
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                                                                                。
( ?9 S% A) I* g* N! M
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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5 n# q# ~: B& v0 m
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" G4 Z% t3 }  ]# ~+ K
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
. y$ a) j/ m8 A: A; G
5 V; p3 X: u& o. {& \0 n6 ?现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
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; M/ F  P. F7 l% C  ?2 w
0 J( {/ r2 @. b" \情况一：  
: c+ v) {- _) i7 P此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
5 l9 X, G9 Z" J此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
& Q# ]0 Y$ L' v! f3 l7 ?! d
情况三：
  h3 y, a# f. h$ S此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
" U% c1 R: h8 T1 q' t
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
0 ]/ K# E! h8 v% Z5 R  p& v* n5 C2 l5 N- x
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


' T: R5 ~. n+ m8 B# |/ K情况一：  
% u+ F) F; y- x  I1 V假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

! B& E- g# A- N* L1 y/ P
* s/ K5 z/ t$ K' P7 ?* ?

# L5 a* K" Y( o. F
3 z# [8 I& i5 s7 v5 V% j* H
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
$ O8 ~3 c, n! S% ?% B% T$ T4 A1 W
情况二：  
/ t7 v4 k# N% ~3 k0 ^2 p1 x- ^令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
1 ~4 p9 j: e0 L' `. [% z

4 B2 {- R2 D4 @' L2 d
4 d# x. }! c; M% m" v6 ?1 D. _
2 C% a% N; O$ [* y) W, K

, w+ B# E3 d; a9 D& R5 O0 Y4 k5 i这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
6 @; r& e; m6 E1 y1 H利用p+q=1，上组方程式可改写为
. U- p& Z( g4 R$ u
, W8 X7 f# o1 K  L3 ]; i/ x
3 g. S9 ?# w7 r( C
. Z( b- ]$ J6 S
, d- O8 X; m* o* v& R

两边相加，并利用 、，得




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& W* y' C$ w3 B. {2 A! N
若取前 c 项相加，则得
/ _+ Y' z5 X. }5 q
( H# v: s' b' n( c
0 `+ P; E" {2 S8 e3 S

5 f* L3 @" o* E% c6 M
$ y# Z2 g$ t# ^# v6 y2 ]3 A/ a1 }
4 x' w6 S: s2 L7 Q" ^: x情况三：  
( S, }# s' E7 m& H: n仿二之解法，可求得

$ b" A; p, T' g) u2 x& `- d$ r, R



8 l0 p6 e' V) _, o

$ _- b, i  Q/ W3 I+ d" i" {  }保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
* \. W* G  h( P9 V$ Q* o
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
1 X1 O. L8 d+ C6 y

4 B4 E6 }" L# A& u& ~5 I" ^定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
/ E$ g; E: L4 R* {0 r7 l4 ~$ a此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
: @  l+ c& w( E: U" F3 [3 _: F
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

4 y) e: Y# i/ x% P; Q至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
/ b. s+ u) b& K
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; Q# t* s3 B" i: c
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其中  为所下注之金额。利用


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# z2 T2 e& t  r# p% ^9 a
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可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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* H) l% l  k& @7 k4 b+ r# X" L
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$ g" S( C$ K- K3 \
) X% K7 c( p; P9 ^! b因此可得在情况二， 时，
) F0 O! f9 {0 T) _' P0 s7 ^9 ]5 u4 S

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而在情况三， 时，

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$ ^( E1 W! O9 B: \1 K9 m5 C# A! D

' M/ z; j1 E' f7 ]& R7 W3 Z
" \/ U7 S4 q, h* X但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

, c% \* Y& T# c: y" u  y' y( m3 v至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录

) `- z/ Y; }; A& a/ Q7 d; j
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
" [4 t" Q+ \+ w6 k7 V! z% t6 g

# c! d: ^7 \+ b1 W1 T5 D
3 s- {9 c6 b) H9 |! M5 V
6 s1 e# n9 j7 b; ^7 e


8 h: n* b3 r8 `! B4 u5 v" ?: p
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！