随机赛程的最佳策略

引言
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在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题

7 E: c1 q& I" N) w3 `5 h
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

3 Q0 H/ D# h" _4 K' D8 g当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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; u* a0 y; l' }1 {本文

1 k4 i' [* u( Q" Y( t
$ r9 J' i( O) |, s6 e) n9 J$ t问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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. O, j! a& X$ p方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
9 P, k  B1 V7 `- ?4 l6 f方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
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首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
2 K5 f$ z0 p* P/ Z
! m0 w  o( q# D% e# I$ B: s* ^++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
3 K0 u5 Q" X, q  I/ q



1 U9 w; V' F' X6 f! L: W# T" R
4 R0 o  p$ Y7 M1 ?: _
" x6 I' M2 M/ d: X- {4 X9 O  G! J
$ a7 j2 d  G4 j" ^7 E
5 ~# j; J9 H4 Y" T1 S" J

* B- d+ ^4 D# \6 x$ Y* A: n现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

* _( C+ \+ b' Q$ y% f++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。
! G2 x& \& o5 H3 x  o
9 L6 U: \" D' n% `! V仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

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4 {' s1 G& C. l. V0 ^' |7 D6 O

! Q: t7 c: n) f- n2 a

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

$ _$ W$ I5 |* I+ z4 T4 \这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
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, g; p6 T1 D; y现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

% C' ~% `* b3 d$ b4 m' w
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

9 z. _: ^. _" x; h% M情况二：  
; A- D. ~! M/ h" |此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
  q: _  ~* U7 T1 K
% d  m# h% X% `8 ^. P现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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  z  r% u0 R5 [6 G/ B如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
9 l- B  B9 \( `

情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

* s( q# L0 T# z1 E% X
5 |  F; g5 t( E5 Q. R( c
) ~' v- L/ z6 V! g9 V+ K
+ M! u# h) i' x3 I; S3 X( w

! W: L' S* \  |9 r这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
  }7 h5 f; D; |令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

' g6 l: o5 P7 K8 m$ F  R

8 _+ |1 d$ P* @+ N/ y. m


这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
+ U) F- @9 J" }利用p+q=1，上组方程式可改写为
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; z0 g+ A- F  v. Q: }
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两边相加，并利用 、，得

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9 r* S- }: j9 C6 U$ n* p$ Q
6 H2 H9 u/ v9 U: C% `若取前 c 项相加，则得
+ R) |% ]" T2 {" ~/ {: V- f
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9 M3 P' R9 {; I

8 a! }! U5 g9 r2 U: n; k0 }& x情况三：  
仿二之解法，可求得



! o" @# |) N$ M% I' P

9 S  c  v2 m$ c

保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

# h6 F7 q) m0 n$ A# J首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

4 g0 s9 n" ~# S! F! ]! l( T
/ a1 K9 f; Y4 Q  J" [/ n定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
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: e0 z& [4 A- r2 ]  q5 F$ i现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

9 ]* m* H& H% d# r: {- e. U* l  o' X3 R至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
3 u+ f: }7 t( K2 H- I  N- ?3 v


- O& C  [+ i% U/ j$ m4 S! V; e% ?5 W
5 U" c- R/ h8 n" _9 D+ E

3 p1 R7 A: V5 `! r) w
& L$ d4 I% G! n0 w9 p
其中  为所下注之金额。利用
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, l. X* k$ u% T; p9 n* Y4 N# W
; \4 m4 Y3 D" V
# d7 a* F4 K8 w% C. S) g: Z可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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9 Q, C* r! d9 }& i6 v, ^" Y% `# k
& n& S" m# Z( r* x* l因此可得在情况二， 时，


5 T0 p- q& i7 l3 \, w% a+ J


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' N  ^  N" r$ Y4 A$ v
而在情况三， 时，


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但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
) L. z9 a& R" x! h$ n2 p3 n
# b6 |6 G. A! J1 H7 b至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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附录

9 Y4 I: V! p; [! Z9 I7 j9 h
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
$ g5 z; c$ j/ A) T


" G, Y! Y: g: q* N, {




另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！