随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
" K. N& c6 z# G4 ~
问题


有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

! O- _% r6 k3 N  ~+ x, a& k当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
! N& \- n2 r6 O; R& K
本文
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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
; s' p; n+ z8 u5 T' s9 D' x方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
% B# x2 J$ Y: o( `- U7 t8 D你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
9 o1 w, t' m: N+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为




' V9 x- W* Q2 f& Q

5 k( {# S4 \; U, H
5 E- M8 l2 o# W
6 ^3 ?/ Z' M* f

现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
0 g7 e* H( M6 b; V2 c! d3 s
* f) ?* X: K' ~! ^$ r++,+-+,
% q* ]) L  h' L8 p. N9 M-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
0 ^) t4 w3 J' t                                 
6 W- ~& S1 b: z! `# Q, ,
7 f2 M, l$ K6 u, R* R: y; y6 i                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为



3 r1 `0 p2 W7 Q' j/ M# P2 X4 F
  c$ K) q& f4 z2 y: w

' @: v% t+ L$ Q5 a" m
( }4 C% Z, c4 q$ L% p/ Y/ I) w
. I1 U% T) [; p! b# G最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

* f8 q) M1 d' N, k, q. H这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
( s. [& d) D) L
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

$ h/ m5 k) w7 @% c
8 O7 m4 D! _( H情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
) K+ j; }, `8 E( k1 j( H! i
$ f( e# u, d8 Z情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
! D0 H$ U# Q0 l$ k
$ K) M$ P# `8 G( r- K. b3 r情况三：
  p) i; v2 F6 U$ b5 T& {此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

9 l7 N1 ?, {9 p0 b现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
" H* g" r& @: }* G) [  G( i; E( o
! v# h* _1 N% B! j* W# T如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
$ S" Q$ ~: t" F( D1 F/ W% |
9 {. ~& S2 t- I
情况一：  
  k4 }, G. R5 q: C) N. t假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
; d' {7 q/ {! a# w
  d0 \6 b' f4 A/ Z0 a* l
, q6 O* O. P1 J5 a1 C
9 Q0 C1 q& i+ l) c: ]/ B2 L
/ l2 z. g- a, e8 Z+ S6 o5 V

' e5 \' @% o* |; n* u+ Y这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

+ {# D# Y8 W; t5 ]& ]7 q! F2 ^情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式



& D1 g& z  `: m7 C% Z
+ O  m0 T* C1 `- z7 @* w+ v

" I# G6 x6 G! p" h$ b这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为


4 w* a; E4 O# C: z6 \/ M


' i) c! ]0 ]# s% Z( V
* ^6 Q: O& Z8 H6 I6 t5 b两边相加，并利用 、，得



5 X4 c4 }& B% {1 |


若取前 c 项相加，则得
( n1 [5 b' A2 U" M

9 M/ q, ^2 k' m0 d) y8 J( c  ?
! \" u) N1 o' }" e' D' `7 N& H
/ j* f% ]+ p! J, `

情况三：  
仿二之解法，可求得

$ Q7 O: u& g; T9 L$ F
& H) K7 T  _  |+ J% O4 G  d
/ S3 Z' W7 O' h! l6 h
9 B; Q8 y; s% U: B

- x/ R& g  N5 M9 q7 }6 q5 x7 z
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

; T6 v' M. [! c! h
定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
8 w, E1 j. w. L, ~+ d$ l! K此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
9 ]# V' S8 `7 f6 K+ y* T
* u0 t0 L, r) @6 r: q7 v  x6 ]现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
" V+ b# h( R; i4 L
+ {1 g- L, I5 C; _5 w首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


& p% K1 T- h8 B2 p# r% V
! F3 e" @* A2 d* ^



  C7 q( P, w1 X3 I
其中  为所下注之金额。利用
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$ l$ A. t" `4 r% Z- C+ H' `# S4 ?0 {

' ]) ^/ `% `+ T8 v* L. `$ g8 ]

4 m6 u0 v; Z4 d$ F: i0 [, G! B

( I+ _* p: j- ]5 J" f可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
6 H/ F0 r7 f/ C" I" R! ?* t' H
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; N* \$ Q2 u2 N9 ?5 r4 A
  X% }( M0 i7 u* y; \0 O; l) h  r' U

因此可得在情况二， 时，

9 k) a( K, s' Z2 B7 F- V
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# ~9 i+ S' ]" s6 t; ~& b2 e$ y8 W( k
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( |7 }/ P! e1 U7 b2 H
而在情况三， 时，





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" A/ N: R! X6 O# X$ r4 h: ]

但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

/ c, v0 x# }( U+ e9 H1 W7 a至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
( d% P% l# f! e) s0 c6 c- L! J
) O; I0 w  f' T附录
1 N' ~; T: Z. }/ Y: O- p" ^! W* Q
3 I! P" T6 v4 G4 B
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


5 U$ y* y" K( O: }

% j: B8 _) t+ f
1 ~7 g; S2 F- b) [/ R
% h4 I9 t1 V& t: C* r
2 o% M, I$ S0 }' N4 Y3 r5 [
- f* p6 }- |9 ?/ j另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！