随机赛程的最佳策略

引言
1 _& T  g# G% f( f( m5 r% K
在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
9 m; j4 ?' x+ `, ]6 O
问题

7 B6 g; w5 f( \( d" k, Q" U
5 |) E4 S6 ]4 [0 w1 ~3 z有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
, s$ ]7 E) \5 r0 k
当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
2 h% [2 H! u3 U' h, {4 t
本文


& `9 \8 a! x8 w. Z# [8 }问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
. [3 v) H# F# N" j. c8 W
/ k; o5 c/ \8 J8 V0 k" ?% ~为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


& U8 @8 ?) ~1 E/ ?$ p) O* V方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
1 A/ F3 ]+ L# {7 F5 l9 h7 r. _方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
, s) e6 U. H/ t; e方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
4 k; d/ S/ y% P你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
9 v: E" j  e5 C: `! L
++,
+-++,-+++,
2 Q% f1 O' x- U1 X: s  `" Q+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
1 Z4 |! \  x) P1 M9 S. \在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
0 Z  W6 h* S% Q. m/ y" v* F/ c- ]/ _
! b9 `1 [7 i, ?! u
, z+ a& z. X  I2 t  a' X
5 C* p# z; \7 k+ ?8 |1 l! D$ B+ ^( k: u


4 ?/ h1 m2 P+ {+ I4 n( t' z
, t3 V/ C" e" Z9 {& s1 y0 k  ]; u

5 u6 Z7 ^: e6 i2 J9 l. o
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
5 f% ?0 r% z9 b( k' M, `( d, \
) D, X) [, H6 X8 M' C0 ^++,+-+,
" _* y: m4 [9 d) J: B5 j-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。

& A. J* p) {2 K$ U8 z, T7 g4 J仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
, @/ {4 M; j- j

- A# k% M% Z0 G- B, u7 j


; |% Z/ o' V* X* `) q# h6 Q

. e/ Z3 Z3 h. M4 k- N% l- D: H
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
% v! ~) N1 T/ l& j+ t9 @, E
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
% H" m1 D8 P" S
  W$ K  r1 d  A% r现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
& s9 b3 i" d: n" M! i
5 {  w& X/ A5 v' k* s
, i  t+ w/ @9 c) _  O情况一：  
7 x' y5 `: g! F; K) w此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
# G% U! Z; c$ _0 I
现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

' s/ G, V  s- a2 G: I: s如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
# ~7 v% i) c! f' m6 k
' _: z$ Z7 A6 x% Q& R1 [( p( _
7 r. S$ a0 k' j3 P% c情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此

! X3 N" A! l  d: Q

1 V2 b/ N# I9 j# P( W
. c& I1 T# O  r% t' Z# m

* c- ]( x, J, W) X* O- g: G+ E+ D这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
# j& Z. A6 s, t" R5 D2 k令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


8 H5 j# t, @0 b" q  E6 V
; R6 A; W0 P% Z( f9 E+ B

! D, a, v* u& T' t" G! Z. c6 x/ J
" K# D. c* ^% l  [$ q这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
$ Z' p4 i9 A2 ~! u


3 o  i+ c* B. Q; s. ]$ Z


+ q" \- `# Z$ D( A2 A/ D( X, c  `两边相加，并利用 、，得


& w2 @' f9 a# M& i* U5 Z


( S# f: S/ S$ G$ O
若取前 c 项相加，则得




8 T3 I+ U( {  w* z( o4 f
+ R$ o. `9 Q# u7 a+ T1 R
情况三：  
8 s* G$ V5 F6 y7 ^# F7 {: r仿二之解法，可求得
( O( o# n: i; X9 r3 i& w
0 E( c, {  N2 S2 {( l
1 U% Z% o* ~& O+ n% h
1 N6 c; g5 p7 y
& g: S* _' a6 S( [


0 X$ q/ a( j! k- L$ `保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
8 J8 j* Y: k. l6 A
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
6 _" g) H3 |) p! b! w

) e. p6 B0 B9 `) ^) R9 O定理：
2 Z) J4 S; q; w设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
) F' _, g! \% G此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

4 |7 [: X4 |5 \' ~" U$ H3 s现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
" {, a$ y# _* x. S5 a
: T  I6 h9 E" {! r' I首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


0 z. u# j+ E* d


. f! a% E: U+ F& u) `' j+ j% i
5 f3 O4 E% w+ r$ W% t  A. ]

其中  为所下注之金额。利用
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9 W9 O3 J/ \1 R; k5 H


- p7 a$ {% k3 Z) y5 V' C; y! u/ L
2 I+ }, T9 I6 o' }: T# v' L6 L

$ X8 R0 p/ ?; ^4 E
3 ?, h* O3 \% m可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
! e& J; j+ V5 P  X


) D0 D/ e  p# a$ }/ P  y
+ {6 Z3 [8 x1 O/ G' M$ B( ]
. t$ l  }+ E. q% k
! O! {, l7 Z1 K! l1 H
, N: M, F- ]; Z
+ [" |; `) X& B" U6 k; P5 d因此可得在情况二， 时，


; Z% q) s' W4 _* N/ {7 z8 ]' o
9 B; y0 |% A) r

7 w- k# y1 I, E1 u
- M  S4 n- }/ v+ N5 W  a

而在情况三， 时，
% j) d  R+ s- M8 H
. u% O9 [3 k$ B7 w
. k$ {( @* i3 n; H4 T7 r% l* h
& I8 w! [- S2 W2 ~
" o; c, w; e3 W5 j- P; {! P+ g: _
- k* g' X) p) e$ l$ ?6 S


+ m2 r; Z/ M0 F2 F1 h$ Z; `& ]但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

4 L  B8 L3 x8 G! ^2 }3 @至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

7 v" N8 c2 u. k# N! ~6 K. ~附录

& K2 m% B/ R  e/ X: j
: |, A/ J9 A3 a7 S  `在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
9 I0 A8 p; ]  n4 H+ c! X* I5 s, Z7 C



* p* v0 L/ K" u
4 U0 i  n% w5 B0 p7 C4 ^7 ^

* B# [* L, }- T3 r6 y! D1 S
6 N/ }- [6 s5 M6 i6 g另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！