21点：赌场里最可能赢钱的游戏(转）

           小时候人人都有一个赌神梦。长大了我们才知道，哪有逢赌必赢，都是十赌九输。

# W$ t) q  e8 x3 _- e# e) a0 @3 M
* f! m' B, j4 L( p2 T( j: }想想也是，都赢庄家吃什么。要说“赌场里都是别人设的局”这话也不错，那里的游
' D* O. @/ p* T3 N0 p
5 \9 u9 D2 M( G- ?; l戏没哪个玩家胜率过了 50%。即便如此，依然总有那么几个人，可以赚的盆满钵

满。他们是职业赌徒，以 21 点（Blackjack）为核心业务。
( P( ^5 {  l3 d9 w1 g( G$ e
21 点是赌场里最可能赢钱的游戏，也是那里唯一相对公平的游戏，在采取最佳玩法

* \) Y' ]  t0 o$ D4 c的情况下，玩家胜率高达 49%。不过要想长期赢钱，这 2% 的劣势也无法容忍，高
4 P+ v! J4 [1 q( I0 M
* L% o2 |$ [- L0 x7 ~$ F端赌徒们会用变换赌注或者团体作战的方法把这一点劣势扳回来。

21点怎么玩
, t# O: y# X. H虽然各种电影里常有 21 点的场景，但它毕竟只在赌场里流行，实际玩过的人不多，

0 H4 T( c; z3 d3 O6 |- M让我们先来介绍一下 21 点的玩法。

这个游戏分庄、玩两方，通常庄家在一张半圆形的牌桌上同时应付各自为战的 5 到
3 I& y7 w) t" @
" @. \+ y; ~& ?2 x3 g' }4 n 7 个玩家，道具就是多副除去大小鬼混在一起的扑克牌。玩家的目标是让自己牌的

点数和大于庄家，不过这个和如果超过 21 点就直接出局了（也就是爆了）。花牌

算 10 点，A可以根据需要算成 11 分或 1 分。
" Y3 G" T! R5 W/ p! V
首回合玩家和庄家都会得到两张初始牌，各自只翻开一张。之后每一回合，玩家

! S5 k3 [: X* g; H可以选择：

● 拿一张牌（Hit）
+ ^6 h: E7 n" g" d. J! L/ D
● 结束拿牌（Stand）

● 赌注翻倍并拿一张牌（Double）
* ]( S: b& r& S% w" k/ Z
● 如果拿到的两张牌相同，玩家可把这两张牌分开，压上另一份同样的赌注，并从
' z$ M" Q  {- H; F" H
* n/ L9 w3 i3 V8 L庄家处获得另外两张牌，相当于一次同时玩两局（Split）

' f% j* H2 v2 o" g* e9 J● 认输，投降输一半并开始下一局（Surrender）
1 r9 ]/ L# {9 G9 B' g
% ^# q$ {  D2 ]0 c+ G3 Y& |要注意的是，其中Double、Split、Surrender只能在第一回合选择。有的赌场允许
5 u& C. `9 T" C3 ^9 I
" u+ `9 W& j8 D6 C& `7 ?5 A9 P6 g Split 之后 Double或者继续 Split，有的赌场则不允许 Surrender。
! ~) r2 M8 E7 h( v2 t
$ J5 ~  u4 Q, y+ N3 a9 ^, [当所有玩家都结束拿牌后，庄家翻开首回合盖住的牌， 如果点数和小于17就拿牌，

' f0 N1 b$ l. N5 ?' \) d. B1 c直到点数和大于等于17 ，庄家不 Double、 Split 或者Surrender。如果庄家爆牌，
" s3 L9 ~) Z9 ~; D; p; E2 Q
所有玩家都获胜。如果庄家没有爆，比庄家点数多的玩家获胜，点数相同的话为
9 B; G* k2 w8 r* m. b& _1 [/ ]
: ^: \6 H+ s! k. U平局，点数少就输了。
3 c  k) M, i9 ^7 k# ~2 w
当然 21 点还有一些特殊的规则比如保险（Insurance）和Blackjack（拿到一张A
3 k, _+ p3 J9 n2 N0 O
和一张10点的牌），这里就不赘述了。
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高端赌徒如何要牌

可以看到 21 点并不复杂，数学家们很容易找出最佳要牌策略。计算表明，

最佳玩法使得玩家胜率达到 49% 左右。对职业赌徒来说，做到这点没有什
) D5 s. N" \# y+ G- W" R) b
  X+ n# U& E* X1 N) p2 U么困难，所谓最佳玩法不过是 3 个矩阵，记下来就可以了。


6 ?  S2 m7 u7 y% v: y% ~- o: l1 f上面 3个矩阵几乎涵盖了赌局上可能出现的所有情况。顶部横排坐标表示庄

家首回合翻开牌的点数（T为10点）。第一个矩阵竖排最左列表示玩家当前

手牌点数和， H 即 Hard，就是说要把手牌中的 A 当成 1 点来算（如果有的

话），另外两个矩阵竖排最左列表示的玩家手上的两张牌是什么。
1 v8 K% }. d' M' m' W# w: d
剩下的矩阵元素就是玩家对应的最佳操作。其中 H 表示 Hit， S 表示 Stand，
- @  h3 j/ `! J( q* Y
$ e# b  V$ N$ f; V0 T% G# X# I P 表示Split， D 表示 Double（如果规则不允许就Hit）， Ds 表示 Double

$ z0 X0 g1 c& R9 M' i# b; ^6 W% W  R（如果规则不允许就Stand）。
+ P/ H  A8 c2 m# X/ \$ g
仔细观察上面 3 个矩阵，许多要牌策略稍加思考就可明白。但也有一些很

有意思的地方，比如说当手牌和为 12 时，庄家牌面为 2 或 3 要 Hit， 4

到 6 要Stand，当庄家牌面更大时则应坚决要牌。
4 t: _! ?2 a2 i# z
为什么会这样？什么时候要牌什么时候不要，概率说了算。不妨让我们先

. n) g$ P, L# z2 Y来看看玩家 12 点时 Stand 的胜率。庄家开始抽牌后，点数和大于等于

17 才会停止。这时玩家要获胜只能寄希望于庄家爆牌。
( ]% B7 I- B: W% e+ f
如果庄家起始点数大于等于 17，根本不用抽牌。点数和为 H16 时，抽
% S! N2 l5 b) R9 n% h3 G
到 6~T 会爆掉。我们知道，抽到不同大小的牌的概率是相等的（1/13），
  Q, H% B- l: F! F6 A6 L2 m
% C7 T- s6 I1 Q, ?  l. N设 F(x) 是当前点数和为 x 时继续抽牌爆掉的概率，那么：
4 ~) A  Q/ b7 T. j! M
0 c: g( t1 p# n9 z' gF(H16) = 8/13 = 0.61538
6 q  W1 {* j; D# F1 w  ]2 N
5 ~# h2 n0 z8 D- V5 h当庄家手牌点数和为 H15 时，抽到 7~T 爆掉；抽到 A 就化归成了 H16 的情况：
% B; _9 ^5 L& Y0 q2 G6 ]
, [, F  z9 w. p3 A: i( A& P7 x9 c0 a/ pF(H15) = 7/13 + 1/13×F(H16) = 0.58580

同理可算出 H14 到 H6 的爆牌概率。当庄家手牌和为 H5 时，情况又有所
$ O9 N- \7 b% S5 V+ V
# a1 G4 R* E: c8 d) e不同，这时 A 可以被算作11点，把这个变化考虑进来后，也不难算出
- [9 ?2 p" I( d- `0 Y) }" Y7 R/ A# W* C
( b+ w/ d3 N9 R6 M* \ H2—H5 的情况。

0 F2 m  I4 P- G) b: N& E: C那如果是玩家选择 Hit 呢？这时有两种获胜情况：

  B$ C8 q) Y" Z" q+ p. ?玩家没爆但是庄家爆牌

玩家和庄家都没爆但庄家点数小
8 V& j7 ~; K) |9 M. t5 \
) k9 d9 N; j: Y/ ]" w$ h爆牌的概率已经算过，现在来考虑比大小这种情况。如果庄家第一张牌

& Q  R/ T6 A7 D$ w' r为 2，令 G（x） 为庄家得到点数和为 x 的手牌的概率，则 G(H2) = 1。

如果庄家手牌和变为 H3，只能是在 H2 的情况下抽到一张 A，即：

G(H3) = 1/13×G(H2) = 0.07692
1 m9 i* {$ h$ h5 w) U
类似地可算出 H4 到 H 21 的概率，依然要注意 A 算成 11 点的情况。
  [+ @1 n& j% ]* h1 _5 Y* \
5 X- o, ?3 |: C( \7 B" t7 z在双方都没爆牌的情况下，玩家通过比大小获胜只有以下几种可能：

! N0 W. M. M  v, g# f9 V; D( p0 C玩家拿到21点，庄家拿到20~17点
+ S) m; R' ^7 O9 }4 w2 s( z- J
玩家拿到20点，庄家拿到19~17点
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玩家拿到19点，庄家拿到18和17点
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玩家拿到18点，庄家拿到17点

! s& ?+ P5 Z9 b- E0 q. s3 Q& f玩家从 12 点开始抽牌，拿到 18 点，相当于从 H2 开始抽，拿到 H8，

因此概率为G（H8），而庄家拿到 17 点的概率 G（17）。据此情况4的
( I3 O2 p  @4 U, I  r) a! O
概率为：

P4 = G（H8）×G（17）

同理可以算出P3，P2，P1。因此在玩家手牌和为 H12，庄家第一张牌为

7 T3 Q5 @: Q- D  v 2 的情况下玩家选择 Hit 的获胜概率为：
: z2 |$ m* |$ d- I& r
P(H) = P1 + P21 + P22 + P23 + P24 = 0.36958
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前面算过，此情况下选择 Stand 获胜的概率 P(S) = F(H2) = 0.35831

, p2 t3 U* s6 p$ ]1 a& TP(H) > P(S)，所以 Hit 为最优策略。

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