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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑
f. y) q$ g! H$ u- E9 O) ^' |) p$ [; h8 c2 e
我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡* Z* l& b8 J' R A. [" V X
" j9 X+ T% D. B# Y2 q. _
(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的6 K8 O R0 v! [
1 C" E+ h. e/ _& m% R
原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,
' C) l. a, d$ l/ C' k
. s; B- P9 B; A4 q5 g& X就算打赌,也要精“打”细算。
- N# a3 T b- l" ?2 a; F5 I0 I2 N2 w8 f1 {
完美的DB9 R+ q! R2 B" ?3 F7 L) `
8 {7 R/ w# H& Q
0 Z4 Q A7 M3 a7 d+ |NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。) n# x/ `! E# g7 Z# c
, F" d8 k) u: |
粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概
3 j7 k7 g2 C0 C$ t
! t$ r0 a" J. R5 _( s- `! ~率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我
6 s$ ?& r; Q# d4 q
T- l5 b$ }0 R/ ?2 j们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!
& S6 y6 e; p' k0 x- N
; h( c6 z5 V" c3 q: d* i方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元, {% R, s, ^, D
4 R. }& j4 {/ q( A* e9 @# Y. K
只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为
8 s1 Y b5 i3 G' U. ~& _
6 N9 M- j" T# u; U2 _: n$ M正,就会跟我们打赌:! [! j" D) B" f0 s+ Z
3 {' t. f# Q5 n, e) `; m
p * x - ( 1-p ) * y > 0
$ B4 |0 U' z5 `8 o2 _3 Oq * x - ( 1-q ) * y > 0
% r- W( Z& S% z2 U& O加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就. ]" V8 _& Z8 D2 L' s' Q
# [ |5 E6 l% I
是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:- {% C! l2 Z; x0 z5 F
/ q( ? ?9 z2 Y( f; N$ u5 J. }& _7 [( e
* T. R6 O6 F3 h0 L) c看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管
" y; H6 ~5 n. Q& x& W7 |
9 A2 G" }9 _: X“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又
4 u/ x9 L' \- Q M/ [. Z ~( z- s) Q. X6 g
是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?
3 l0 ^6 |; q1 [- i# Y8 B+ q1 ?8 ` I' @0 g7 k7 k
; Q, t W, u4 `三张卡片的骗局% ~" u3 B+ a4 ?4 c3 {+ a
2 C" k8 v+ [) b& _2 s9 T$ B8 X: l; R* K- C. S
这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是
2 e1 N" d/ H, \' {4 J t* P0 U g: ~) x8 w2 E
红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平+ b7 T. D+ D* ~$ T/ W! M9 O+ c
3 J# s; ^- Q* B* Z2 }
放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面5 C% n/ g0 v. N$ i8 t1 p+ Y
. @+ ^! o* ~8 n2 v1 [) J: D是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。' |1 z% L6 Y; U# r9 b$ l
9 y& P% c/ F- D- I事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不
# e* K+ @: o5 \, d& p
1 m7 U" I% P3 X3 w3 }, q( ]& A7 W) w是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:
- `3 A& l6 g, z+ X* D; c
! V0 x0 Z+ _" O) |2 t$ i
" y, }" A& ]- K1 j/ c3 C } y2 |7 _+ G5 h6 j* e7 s
: _! J$ F9 R) F v( `/ r: l" T# @! [: i4 O' o
当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色8 z# w( s5 W% M3 j3 D( T, V
3 z2 S, q- Y# i8 G' `$ B
的情形占了2/3。% x7 ]2 W* i7 }$ V3 p: c. l5 h6 H
# X6 L- O4 d) s2 ~$ W" E1 h这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这
8 e% f: S% R7 `' ^0 U- O5 A" U9 e8 M4 t2 z% D0 P7 X/ s
个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国" `2 l- O/ s- Y) c: Z& m
, b# `4 v( J7 ]- W/ v# P# i1 _( C数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)
6 L1 j/ {3 q. e I i2 }7 t& R' P& q7 S8 J
称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。& i- }. A8 M) l; K2 |8 B. x
. a5 b8 J& E) o* C$ @8 x
如此不平凡的黑桃A5 S; b; J& Q! R# M7 A7 i
+ G" @0 o9 w$ t @# ?7 f
有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面
& C, ^* u: y. ?6 [: [; |6 N8 L: Q1 d9 B, A' j: j
就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我 S. F4 C6 {5 c& O! \
# z" E% _0 h0 @: s还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,
3 z* m- L3 s4 O
( {! |% x+ J# {( o4 F; r* z" v当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我. B( d3 }2 l8 F+ p' @
8 x: A4 f9 a5 L5 N/ p. O4 G$ P3 P1 F# y
还有没有更多的A?”
+ g" w5 \" h% g) ~) D& ]4 c( t
! W/ E. a0 T: i7 K3 F) I9 P很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人
( m+ C* @7 r2 h7 I2 K' D3 d4 q
7 K. w& K T/ r+ t, n- `不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:
. ]% i* o0 [0 a C
9 c! l; ]$ @' K' I D没有A的情形:C(48,13)- M! r! Z/ H9 D9 D3 t
$ D1 |' r1 d4 |" y: l
至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)* S) _0 x7 V" U$ Z# C! x
: t/ w! O2 }' G( F( B U恰好有1张A的情形:4*C(48,12)( c( ^2 W0 s: [9 F0 }! B1 i& v
( q" w9 M7 P! y2 r- `
至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
( k- i, @4 }! w" @. M( w- o1 {+ q, Z9 j" s) z6 n
事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:5 d& u$ X+ d7 c9 }4 R9 C
9 v; q! w( y- lP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/
. ~0 Y7 U4 D- L(C(52,13)-C(48,13))≈37% }4 e* `1 l' X1 U
/ q- y/ q+ b3 X8 H$ [; j这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家
6 G, h# N' I9 k* R打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,' u# P+ Y N' Q6 ^" p" a
' f* y8 |; r. D1 m& c& W接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:3 Y, Z1 `! j+ L+ f6 L# a9 M
; L9 d; p0 I) S! _) u. T( G. U$ n
有黑桃A的情形:C(51,12); y5 ~1 p J* r5 _; U4 G. b' _
9 ]9 N+ g3 i: o2 J8 h$ \# C. ^
没有其它A的情形:C(48,12)
. r. C( A$ v0 u" p* [. i9 D( \# u* E' Z: c" `
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)
" M; f* k, k7 @- E2 ^9 r @. p& b& b. _7 u' S
事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:
& [7 |; F8 s5 |6 B" ~% b
) C' L8 q9 r" F4 yP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。
" n* Z" L, Z+ j9 w
3 R" y1 X3 x8 c/ Z- ]2 R掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议
) z0 A( k& ?' K0 s) |5 F6 ?" }, Z6 {4 F! |+ v. M
在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道& Q; I/ \7 n ~- z/ V/ w+ E
# F) B: Q/ v( B8 Q2 ^你是传说中的死理性派!
# O7 D# {$ l6 A9 t* Z' q
9 P+ V# b. t3 G9 `, v9 C! a* e
. U$ K% R) I8 o6 i# S. B5 I( A" j
2 k! N# I( `' z: E5 V; P g) _$ l- r
1 }7 f _+ w) b, y
# F m' \: o, S
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