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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑
4 p$ ~$ e0 {5 x( D' H& Y0 b @" k I! z) ^% f7 G5 C$ b
我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡7 p7 m) U9 o- K& D& J: |: i# A
, N' I- J" Q0 M" ^3 h(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的
: s) W; B& ^( X) B. ?# M6 Y8 s% o1 Q" A3 h7 N2 u3 G2 b
原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,; f S- R8 U$ V) m ~! y1 E& F2 V& l
3 q, O1 x# k+ Q+ ]就算打赌,也要精“打”细算。' M) ^8 F3 x4 {$ @
: v( Y1 x. q5 T7 Z完美的DB
# v9 U! l8 W9 q% Y, f9 w/ Q! u m# y9 ]/ q N! U: F: |
& H, E% t8 B5 I2 A+ D/ Y2 r
NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。
+ M/ w6 S4 m3 p5 B4 E8 t
; b* o2 m; L9 c- x( P粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概
% L" g9 _4 H4 n4 l9 X3 g4 l" P- a" K/ G! y. \7 y1 }' I
率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我2 z2 y6 i% ]0 m2 C! Z9 _, b
5 C9 B) G+ Y4 V# U0 C- I) J( h们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!
y! l( d* G$ A( i+ b& g0 J8 ]/ _
/ O8 [6 y: ?2 Q8 A$ N6 Z, h方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,
# u, o% m$ d- l0 {, F, g& K* G! X$ M2 Y/ v
只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为
8 G$ ^' [" P; T; g+ J% t9 l7 P2 B' M0 Q' Z
正,就会跟我们打赌:
6 W" q! v/ n9 R* d3 o$ S0 ^8 S% e' z9 h( h9 i0 l2 R. c
p * x - ( 1-p ) * y > 0
$ E% [2 d8 v' r$ Rq * x - ( 1-q ) * y > 0. e" {8 e: _, I4 J5 q& b: L
加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就0 d6 F+ f6 h$ ]' Q
; o2 E& q4 v: A9 g Q是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:
# F* @ ~; n N0 A; X. m: L0 K
/ D0 g; v q, S. C6 L' i7 m0 b$ t/ z" z5 Q4 C. T
7 D+ |; Z) `' F3 ]- s2 z; ~" P4 l
看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管
: w P+ V+ @$ |& T9 A; o+ O( K6 c0 _( Y* X# M
“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又( G4 R' [; Z5 e5 P4 Q
# g8 `% ?5 W0 ]% y) E是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?" L' _; k$ F* [- |+ Z
1 P: H* u- j, t; a$ }( s& X+ W c
三张卡片的骗局
$ X$ G6 S9 b8 @+ A7 F- B
% B* z: X7 a; R5 w& Q, c( x8 |$ A
0 i0 `- i/ B% ~. u. p( R1 ^这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是, F$ y/ U3 a' H7 E7 I6 c
! r9 }8 ?& ]% N T9 H7 B6 s
红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平
% D/ I z# w0 _" {9 ^& e( R. z: {4 ?! c' W; ?+ N" F( v
放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面& I- J9 T! {+ s
6 l9 S5 A$ w3 t" a- ^5 J/ l
是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。9 v2 ~& ~& H8 t7 B
# N* B7 A2 A3 G* `( q0 t事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不
( T1 S4 z& S) _/ m- f, P2 z B L8 X+ H: u; I
是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:
) `0 o, S: l+ a8 m) f7 v e6 N' ^! |/ t; T A
& s% A8 c) o. n' G* ^3 ~5 t" e9 g* n' p% m
9 t" v; x- s# n) s- R0 k4 d. i
7 \1 D$ w; N% M' j当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色
9 n' w4 P1 u; \4 `7 m
! N/ |+ U% w C; f# m4 d的情形占了2/3。
8 h0 a3 M& V3 {$ F* J2 C
1 F' n! D; p9 G9 K1 `这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这% R- ]7 W: ^- x
& B- v' H7 \. L4 j个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国& `4 {6 D& J2 X8 A* V
# I/ }2 _ B2 Y) v; b# j
数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)6 h+ N) @; c, K- C6 ]4 ~5 m* Y8 I
, E, P% e4 A' w称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。5 g$ m) s+ F% p+ [# P! M* X8 g7 n6 z
' z* `7 j. ^' ?! u' {9 m如此不平凡的黑桃A
( r4 }9 r, q. p/ e, A
6 N* e) N( v' h$ @& |& n, K有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面6 K! z M1 r) U. [$ Q' a( C1 Z A
2 w; Y$ G a; d t1 D' w就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我
% T8 ^2 _! |# L8 Z
3 o1 |3 i2 @, x8 E' T+ {3 Y1 Y1 Y. i( \还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,6 y: q3 j! z! t( H& }+ Z8 k
( O( Y! b F' E9 Y0 v1 D
当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我# y: S% ^1 x( E0 t. T3 e
, h9 {) b( h6 x3 M2 O
还有没有更多的A?”. t0 t, V* b0 W5 A# N8 N+ r! w1 V
O: y9 E$ O7 A0 m
很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人, h1 _+ n; ~9 [* I) O
4 d4 W c7 I" F- F0 ?
不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:7 e3 }- n$ ^5 \% {, l1 f! e
5 s! ^0 q. f4 I' q x. I没有A的情形:C(48,13)
( q- l0 E% _+ ~! J6 j4 f) j6 v$ ?' N% @+ ?
至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)
+ n+ S, n5 @7 z$ O% I( L# }: q4 x& C" Y4 `
恰好有1张A的情形:4*C(48,12)" u% Y8 |8 B( ?
0 T- |3 D0 D7 e至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
1 C0 h( @2 J5 a, N& G! d
& o5 \( @6 Y; V* N, H7 m事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:
' z, Z' f; B. A7 `/ z% C: }. s4 l$ D
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/ h* v) E1 J+ \$ k1 E
(C(52,13)-C(48,13))≈37%5 F: ?, ^% o+ ^6 S# n
7 w; T4 M" _8 V, j+ D3 V' [7 |
这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家
) o; S9 [6 y3 q5 y打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,
4 U# s' z& I" m/ Z5 x; `- V; O3 U
- q& w! {0 R$ W0 M4 S接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:! A0 @) c9 W, E7 e0 i% h9 ^
# p& o8 {1 c$ T0 _有黑桃A的情形:C(51,12)+ b2 G3 I' v K/ k! W4 L. j
* T( r! B3 H" Y& y7 a" s- \- i
没有其它A的情形:C(48,12)! J4 K% v2 [# j2 d9 Z) ^
2 b3 Y; P$ t; }4 F% t4 L8 S
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)
u5 N. ?# f; _4 b+ t* g o2 ]: o7 [; a( c$ v" {
事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:
* T1 I& l+ I. X9 Y1 H/ C. O0 W/ r1 d9 C# C( Q6 N4 \0 ^
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。. Z/ }( \6 d) E! n4 N
, s2 d c% q4 d- [掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议& ^* F6 Q9 p$ e
- s" U; J! f' O$ p在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道; L3 ?( S5 n! b/ |8 E/ V# u
/ f; u8 o; d$ b, A' o9 ]
你是传说中的死理性派!1 z9 X0 P9 x1 F- v, ?/ T
& P: J- \/ k1 F( @. ~
3 C: @6 x& e$ \) O. T* S: s4 K' F8 K. Z* p4 S
/ `' ]7 @+ N; C8 D r$ h
; K1 r. h- U' B' s1 x* f+ D; m9 U" v$ A+ u4 T) w
: R; D1 t2 f( J* B6 s& b8 C. Z+ E
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