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本帖最后由 九嶷风 于 2023-12-14 11:51 编辑 . u8 j v/ s* B/ ] A
( X2 h+ v8 B2 `: l$ k; N 我们知道DB就是概率的游戏,也正是一些奇特的DB结果引起了数学家帕斯卡
. f i4 E, X7 v* ]6 o0 D. W# \6 D
1 k- K: {1 ]. ]* c(Pascal)和大数学家费马(Fermat)的兴趣,他们通过信件交流,提出了一些概率论的5 l: e" d) | C4 q
& x. |1 n1 ^# U$ ^4 [, W原理,从而创立了概率论。今天我们就来介绍几个DB中的概率趣题,告诉我们的道理就是,6 S- M/ B' q. n1 x
" K* z$ Y9 v$ G U" t* y' h就算打赌,也要精“打”细算。" b/ {. M( }; x% N* _: a; G
/ v+ H5 J$ s- d! o( ^" O2 M A1 S
完美的DB6 P$ x; d6 F; Y4 O$ e( l& r; U& R) |6 E
" K' }6 S: F0 [7 W3 k0 u* m: ^1 i8 v7 } B) P4 l: V+ h4 d: `
NBA球队湖人队和小牛队有一场比赛,两个队都有的忠实粉丝,就叫他们“人族”和“牛族”吧。/ t B! p7 {9 u) w" S) }+ e* L
/ D! X, B" o. _7 T. s8 f/ Q3 J8 |粉丝当然都觉得自己支持的球队更可能赢球,所以愿意跟你打赌。假设“人族”认为湖人赢的概: V1 V: P! G$ X& l- t
4 ^) Z. a5 r/ W1 e& z6 W1 N* M
率为 p,“牛族”认为小牛赢的概率为 q ,p 和 q 都应大于50%。接下来就是有趣的部分了,我* `' X- e( h! x/ ^3 k
% Z6 w L3 t- Y- D+ M们总能很轻易就设计一个方法,分别与“人族”和“牛族”打赌,但不管结果如何,我们都稳赚不赔!
3 w; _$ K; u& p' a4 [$ P6 U/ p9 g
; h& G R8 M( ]; e方法是这样的:我们分别与“人族”和“牛族”打一样的赌,如果我们赢了就得到 y 元,输了就失去 x 元,$ C: ?6 D& B4 V! B5 [; i3 {
: f/ f/ L8 s9 j. V
只要 y>x 我们就赚了。而 x 和 y 只需要满足下面两个简单的不等式,“人族“和”牛族“的期望收益为0 ]) L9 s8 G9 V
& E7 J& Y( {: _) C* o正,就会跟我们打赌:
" h8 R( q, O! l F& M9 S, g0 u/ l. h6 H
/ G+ w6 f. C( w1 B9 A* l* Dp * x - ( 1-p ) * y > 0
( Y; U3 U4 E$ z3 a$ \! Rq * x - ( 1-q ) * y > 06 i4 N( y3 f1 C% T3 c/ y
加上 y>x 的限制,画出的图像就是三条直线所包围的区域,对于里面的任意一点的坐标值(x,y)就
4 U: y, L% l5 f( @/ c2 `$ Z2 v* C) |: L" A$ ~+ w' Y3 `3 S2 _- m7 O
是一个必胜方案。如果p>q, 解就是下图中的蓝色部分:1 `# b& n8 S. w. k4 `8 c
+ G: ^& @" ^* h1 i
9 g3 [3 @" J; M1 s- q$ Z
' |4 d* g; d# t6 r# i看来这个问题是完美地解决了,可是还有一个疑点,相信读者很快就能发现它的荒谬所在:不管
' n' m* s: t' d) u# i! N4 l: A& C: _. x
“人族”还是“牛族”,他们的期望收益都是正的,也就是说,长久地看,他们都会赚钱,而我们又
( ]' N& A- {4 m3 O& J1 S
7 M3 c: V; p. ?6 j- ~- X+ E是稳赚不亏的,那么多出来的钱是哪里来的呢,怎么可能每个人都赚钱呢?3 n+ V8 n4 _1 R8 o7 O. d4 z
1 k. ] }* `2 ?: H5 f# v
6 v' \2 U! b* a三张卡片的骗局% {9 b1 d6 o# b( [
3 F. @9 v3 z; B4 _) m& [# `3 p/ _5 s8 z. U# C0 p- g5 z4 X) M
这是另一个巧妙的赌局,我们先准备有三张卡片,1号卡片正反面都是黑色,2号卡片正反面都是
9 X3 {+ L# i5 E% @2 p
: ] j" Q& j1 f2 u红色,3号卡片一面是黑色,一面是红色。然后把卡片放进一个盒子里,摇一摇,让对手抽一张平1 w+ v8 F% K7 y! A
/ z) J# ?5 B! W& C
放在桌子上。接着和他赌反面的颜色和正面一样。这个赌局看起来是公平的,比如抽到一张表面
1 `, ^+ `0 `4 d% B0 _7 \- h. f0 h7 p! L8 C) m( C5 x2 I5 O
是黑色的卡片,那么卡片不是1号就是3号,反面的颜色不是黑色就是红色,直觉上概率各占1/2。
8 C& v* V1 |: Z7 |8 y" \* x& i& h. j' y* S) D) N
事实上我们赢的概率不是1/2,而是2/3,这个赌局最迷惑人的地方是卡片的“两面性”。玩家抽的不
5 o1 X; @0 Z0 \" G
8 s8 [8 z# P/ b" S是3张牌,而是6个面:3个黑面,3个红面。我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:
( n1 n7 i; \( v. o! j& H2 D# O# |7 _" q A( h9 j: r/ ]0 k
, y$ {+ {7 a; k8 w
0 l! F3 b. C$ p" `/ H' W; b4 p
~6 r% K1 w. g% q' z/ I6 a: Z
0 w" j/ ^5 d; M: ]6 S. M% }9 u
当玩家抽到黑面时,也就是A、C、D三种等可能的情况,它们的背面则分别是D、F、A,黑色
p! C* c7 W9 t% Y8 \8 h( ^! A3 x0 f5 n5 _
的情形占了2/3。. c( d8 \9 a# z% l
/ E" ~6 C6 C7 W8 l
这个问题最早于1889年由法国数学家伯特纳(Joseph Louis François Bertrand)提出,因为这1 w# g$ a" y7 [' b* K
) K, V# x4 T/ e$ q" j
个问题的结果出人意料,它又被称为“伯特纳箱悖论(Bertrand's box paradox)”。1950年美国) `8 Y, p6 G' H# |
5 j0 N6 d# `& o' o" Z% v7 K
数学家沃伦•韦弗(Warren Weaver)介绍了上面的卡片玩法,马丁•加德纳(Martin Gardner)
2 u* w- U& {4 V2 p( S% g; z7 J% f
; L1 X# W) [) L; ~! j1 Y6 @2 u称之为“三张卡片的骗局(three-card swindle)”。0 k1 C" B9 J* ]- a
8 g. f, p! @ o0 Z3 m
如此不平凡的黑桃A( p( \( a- b0 ~3 R( g
/ v, C1 V- h" L- Q4 M1 u有时候我们DB一开始会放水,先让别人赚些小钱,放长线钓大鱼,最后来个一网打尽。下面
3 q( f$ u0 B. b$ O$ s
* V% {0 v2 `0 F就是一个绝佳的范例。四个人在打桥牌,我先说:“来打个赌吧,我现在有一张A,你们猜猜我* s* n' e6 z5 g# e3 n2 B5 V
0 m- [: B g6 }6 U8 t4 y
还有没有更多A?”这种情况下你很可能会输,这时你在心里默默指定一个花色的A,比如说黑桃A,+ }1 Q* N) @. R- d! B4 S; r U
8 F5 X- m7 J! ?% M; b当某一轮抓到一张黑桃A后,这时机会就来了:“再打一个赌吧,我现在有一张黑桃A,你们猜猜我( s! N% U% H0 E( ~9 Y) X' M% [
% T- L) I" b7 c" {还有没有更多的A?”
9 C5 o: X! m) y$ i- n; z. l9 z: v* R: `
: t* d; ^4 S- O很多人肯定觉得两个赌根本没什么不同的嘛,加了个黑桃并不要紧。可它们间的区别,大到令人1 g5 H8 I( s# r# Z8 p: r
( s! F. A( S( i6 p
不敢相信。我们就先算算第一次赌的概率吧:
. D8 x# o/ q6 d8 ]
3 F. ~- F7 s* i. H0 u2 a5 `没有A的情形:C(48,13)
( n M) [1 e2 O/ s) k1 h" i0 i4 o6 z/ h# x$ ~' F+ ^
至少有1张A的情形:C(52,13)-C(48,13)( q, R: G" P9 r: i4 U* G
7 Q' j4 b9 m: d8 @% ]恰好有1张A的情形:4*C(48,12)
, w' r* G% J1 r% ]- B* o
/ U/ }: n* q- x/ F: V% Y至少有2张A的情形:C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12)
& \# n, ]( X( x3 _. c
! f7 d4 C3 p. r7 v# {2 \事件X为至少有两张A,事件Y为至少有一张A,那么条件概率为:
% R8 E. W) c2 w- u& C3 O. z7 Y, D0 I" o+ s: e6 N: x) Q
P(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(52,13)-C(48,13)-4*C(48,12))/
/ o7 U, w& i9 G9 n3 \(C(52,13)-C(48,13))≈37%
0 G- f* D8 ^1 I5 b
: n% x3 k2 [# Z' ?这个时候我要赌自己还有A,比较容易输掉。但是有了第一个赌的铺垫之后,大家
- N) X& E |2 E0 E打赌的意愿都被调动起来了,一看第二个赌不就是换了身衣服嘛,纷纷加大赌注,
+ r0 O7 H7 M$ t. b) E# y1 G' z$ K. s# w8 n+ m- l0 H# n& a
接着赌我没有更多A,正中我们下怀。下面我们将发现第二个赌的概率已经大大不同:
4 }4 ^& ^( [. J7 i+ C# q
0 R: n; n2 _7 k. a l有黑桃A的情形:C(51,12)
. X/ i4 Q+ y3 L% }" ^8 M- n+ s$ d' s, u3 ]+ g t
没有其它A的情形:C(48,12)
- m0 G$ C2 p2 a5 Y' m5 U3 r( R& x! C
还有其它A的情形:C(51,12)-C(48,12)4 H2 J: _8 l4 D' N, q' [* x2 \2 K
0 K! r/ u6 J+ E& K$ O B) }事件X为还有其它A,事件Y为有黑桃A,条件概率为:
) K7 w2 i: e8 a: H% b2 L
" N7 _5 v3 v' y) c, yP(X|Y)=P(XY)/P(Y)=(C(51,12)-C(48,12))/C(51,12)≈56%。7 g5 j4 l% M( c
* W* F/ Z F6 u; c" `9 w掌握了概率论,DB就只是概率游戏了,当然我们是反对欺骗的,以上各种游戏只建议
% l& [! E; a+ t% a1 H3 n- Q8 ]* L" k
在朋友间进行以活跃气氛。还有一点很关键,打赌的时候,演得逼真点,别让他们知道. T7 p% Q4 T% {; ?- K
, K ~0 _4 {1 {) @0 e3 B! j你是传说中的死理性派!
9 e" f' Q/ ^" [ E1 Y# g& q5 D
8 N4 {1 h6 }4 V
- o a: w0 a% A1 t* z. R
$ g4 n* n+ k! J8 v# Q9 C/ W; ~2 _) {8 d
' u+ Z4 h1 k: |
* J# D+ g4 B) o- Z' p" ]$ d; f0 ^9 E R' ~ N
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